既然1+1＝2不能被证明，那为什么我们可以使用它？

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这个题目就是陷阱。

谁说1+1=2不能证明？作为算术题的1+1=2是不难证明的。但是那个著名的数学家陈景润研究的课题是“哥德巴赫猜想”，仅仅是用数字表示为1+1=2，它不是算术题，两者不是一回事。

作为算术题的1+1=2，是由10进制规定的。10进制规定了，由0到9十个自然数，到了10就进位成两位数.。

而哥德巴赫猜想研究的是数理问题：任意大于2的偶数都可写成两个质数之和。这个问题超越了中学数学范围，我们就不要瞎起劲了。知道它的性质就行。

记得进大学时，正是徐驰写的报告文学《哥德巴赫猜想》热门之时，有个同学讲个一件真事。他家乡的公社书记在大会上说，四人帮把我们的思想搞乱了，连一加一等于几都不晓得了！那还得了？现在陈景润同志帮我们搞清楚了，一加一就是等于二嘛！

【修改版 1.1】

我想提问者肯定是被简化的科普给搞糊涂了。在大众科普传媒中，所提到的1+1问题的，涉及到素数（又称质数，指对大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数称为质数，2是唯一的偶数质数。）和偶数的关系。事情的起因是这样的，话说1742年，数学爱好者哥德巴赫，有一天突发奇想任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。让我们简单验证一下 4 = 2+2；6=3+3；8=3+5........ ，在有限的范围内，可以发现这个猜想找不到反例，但由于偶数有无限多个，因此无法一一举证，而需要更加简洁的数学证明。

图示：2~20以内的所有数。注意通过将素数自加，或者将两个素数相加，我们就可以得到从2~20的每一个数，而这个规律只要你愿意，你就可以在有限的数字内一直写下去，但是不完全归纳法只能给出提示，不能给出严谨的证明。但让人烦恼的是，又没有办法寻找到一个反例。因此这道乍看起来特别简单，甚至感觉简直就应该是理当如此的一个数学猜想，由于证明它是如此之难，因此成为数学上的经典难题，被誉为——数学皇冠上的明珠。同时因为这道题看起来简单，所以也坑了许多人，无论是数学家还是业余爱好者，为了这道题费劲心思，却一无所获，笔者告诫读者，不要尝试去证明它，尤其不要尝试用小学和初中的数学知识去证明它。

因此，哥德巴赫给大数学家写了一封信，请求他想办法证明自己这个猜想。结果这个看似简单的问题，难住了大数学家欧拉，这是一道看起来相当理所当然的问题，但要严谨的证明它却出乎意料的困难。

以此相对比的是另一道同样大名鼎鼎的素数问题：存在最大的素数吗？自从发现了素数之后，很快就有人问出了这道题。因为，通过使用不完全归纳法，人们观察到一个现象，随着数字的增大，素数的个数迅速减少，那么这种减少的趋势如果一直延续下去，那是否意味着，存在一个最大的素数？所有比它大的数都必然能分解为两个整数的乘积？

图示：日本素数研究者绘制的素数密度图，随着数字增大，素数彼此之间的间隔也越来越大，意味着素数越来越稀疏。

对于数学证明不太熟悉的人来说，大概会觉得这道题简直无法证明，毕竟自然数的序列是无穷无尽的，我们如何知道是否存在一个最大的素数呢，而且即便它真的是最大的，那我们又怎么可能证明这一点呢？但早在两千多年前，几何学之父，欧几里得利用反证法巧妙的证明了不存在最大的素数，并将其记载到他的经典著作《几何原本》之中，被后人称为欧几里得定理。这里就不赘述证明的过程了，有兴趣的读者可以尝试自己证明一下，小提示利用阶乘和余数。总之，这件事也告诉我们，不完全归纳法只能作为提示，而提示可能具有误导性质。因此，虽然素数的个数在迅速下降，但它不会下降到零，因此也就不存在最大的素数。

“哥德巴赫猜想”因其简明和符合直觉，但却难于证明，让它在素数研究领域中一举成名，它表述的简单性、易于理解的特性以及其知名度，就是一个充满诱惑力的陷阱，吸引着许多数学爱好者和年轻的数学家们尝试通过攻克这道难题来扬名立万。但所有这些尝试都失败了，数学家们开始退而求其次，如果不能证明任意充分大的偶数都可写成两个质数之和，那我们可以先证明它可以被写成，比如不多于5000个素数之和？

思路一旦变换，渐近的成果也就随之出炉，后世的数学家按此思路一路缩小所需要的素数个数，直到中国的年轻数学家陈景润，他在1966年发表的《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称“1+2”，这个2是指两个素数相乘），这成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑，他所发表的成果也被称之为“陈氏定理”。后来有人将陈景润的事迹写成一个长篇报告文学《皇冠上的明珠》。

由于这本书的出版，让许多国人知道，还有这么一道很好理解的超级数学难题的存在。这激发了数学爱好者的好奇和雄心，但这其中多数人甚至看不懂陈景润的证明，而是直接动用四则运算大法，去尝试证明哥德巴赫猜想，一些人甚至相信自己使用小学数学就完美的证明了这道“世纪难题”，只是受到官方数学界的压制，因此无法得到承认。但如果能用初等数学解决这道难题，那大数学家欧拉，以及数百年来的数学家们都是傻子么？不过，人一旦偏执就无法接受对自己成果的否定，而数学偏偏是一门逻辑异常严谨的学问，任何一步的纰漏都是不能通过嘴炮狡辩过去的，需要无可辩驳的逻辑和相关定理的支持，不能想当然。

当然，虽然证明哥德巴赫猜想很困难，但要否证它却相对简单，只要找到一个反例就行。找到一个具体的偶数，发现它不能被拆解为两个素数之和就行，当计算机登上舞台之后，一些数学家尝试用计算机来暴力搜索，但在可接受的时间内，计算机也并未找到反例。当然，没找到反例，不能作为证明。如今就差这最后一步了，但陈景润开辟的道路，大概只能走到1+2，要想彻底解决这道难题，看来需要更有创新性的想法，甚至需要一个新的数学分支。数学史上的超级难题，常常是数学思维创新的源泉，已有的知识解决不了，就意味着需要新的知识。

如果，提问者问的就是字面上的问题，1+1=2。那这和数学证明无关，而是属于公理系统，是数学运算的基本架构。对完全形式化逻辑感兴趣的人可以参考皮亚诺自然数算术公理，它定义了数学运算。

图示：用皮亚诺算术公理系统定义的加法。证明1+1=2

很多人一看这个问题，就会感到吃惊，1+1不就是等于2吗？在不同的情况下，它还真不一定等于2。打个最简单的比方：1个苹果+1个梨，应该等于2个什么？？因此，在这种情况下，等于2是不存在的。

在数学上，还有另一个非常有名的“（1+1）”猜想，它就是著名的哥德巴赫猜想。听起来仿佛很神秘的样子，其实并不难理解。

这个猜想我们要追溯到18世纪时期，德国的数学家哥德巴赫偶然间发现：每个不小于6的偶数都是两个奇质数之和，例如：3+3＝6。

他试图证明这个猜想，却每次都以失败而告终。因此，他去求助当时世界上最有权威的瑞士数学家欧拉，提出了自己的猜想。欧拉表示他也无法证明出来。

一直在1956年底，中国数学家陈景润专心研究数论，直到1973年证明了（1+2），他的论证轰动了整个数学界。

总结：其实1+1＝2，和（1+1）根本就不是同一回事。1+1＝2是定理，这是公认的，而（1+1）是哥德巴赫猜想，只不过这两个问题被人们混淆了。因此，1+1＝2是公理，是可以使用的！

首先这里的1+1=2根本不是什么哥德巴赫猜想!哥德巴赫猜想简称是1+1问题,没有等号，更没有二！至于为什么这么简称，有人问再说了。

那么1+1=2需要证明么，又是否可以被证明？我们暂时放下这个问题，先来说说计数的历史。

我们熟悉的1、2、3等等等，有个名字叫做自然数，也就是自然而然的数，人类学会用火那时候就应该会数数了。早期人类主要食物来源采集和狩猎，统计劳动成果就得计数：一个梨、一个梨子、又一个梨；一只猪、一只猪、又一只猪……

随着生产力的发展，东西越来越多，用石头计数就是下面这个效果了：

于是聪明人想出来这样一个办法。

可是还是不够方便，于是人们又发明了数字，并且发明了用数字位置不同表述不同数值。

这样人类就可以仅仅用一串符号表达东西的数量了！

说了这么多，其实这中间有个Great Bug！“最后的魁拔”到底还拍不拍了，我还等着看海问香和远浪呢。怎么就扯到动画片了呢？赶紧扯回来！这个大的Bug是什么呢，就是没相同的梨，如果梨都一样，那孔融让梨就很尴尬了！

实际生活中，东西不一样还好解决，不就是鸭梨么，这次你吃小的，下次让你吃大的！实在分赃不均就打一次世界大战呗，还不行就再打一次。但数学是很精确的东西，都不一样可不行，还让不让人数数了？！于是人们给出了一个数学最基本的假设，也就是有很多个完全一样的“1”。

数学分支很多，每一个分支都有基本假设（公理）和定义作为基础，剩下的一些定理公式都有这些假设和定义推导出来。初中学几何，不是有点、线、面等等的定义和一些公理（也就是假设）么，剩下的都叫定理，定理就需要证明了。

前面说了，自然数就是自然而然的数字，我们人类原始状态就会掰着手指头数数，为啥还要公理和定义呢，这就是牵扯到数学的逻辑严谨，要区分自然数与其它数必须有这些公理和定义。

公理（公设）的总结或者提出是很难的。爱因斯坦的构建的相对论，就是一种基本假设，你可以根据它推导出很多东西，已故著名物理学家霍金就是根据相对论推导出了黑洞等猜想而赚了不少钱。自然数人类用了数万年，提出的公理不能违背这些应用又要和其它数严格的区分，实在不容易，因此自然数公理的提出比相对论早不了多少。

1891年意大利数学家、语言学家皮亚诺创建了《数学杂志》，1899年他在这本杂志上阐述了自然数公理。阐述完这事儿没两年皮亚诺就去研究语言了，也颇有成就，是世界语的奠基人，这就是所谓开了挂的人生吧。自然数公理也就是为皮亚诺公设，一共五条，自然语言化的方法叙述如下。

①0是自然数；

②每一个自然数x，都有一个后继数x'，x'也是自然数

③0不是任何自然数的后继数；

④如果y、z都是自然数x的后继数，那么y = z；

⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n也是对的，可以证明它对n' 同样是对的。最后一条很奇妙，它规定了自然数的间隔。不多叙述，有兴趣的可以自己研究一下。

自然数的数轴，一个等步长方向确定无限延伸的数轴。

终于有了自然数了，严谨的自然数。那么再看看自然数的加法是如何定义的。

自然数加法的定义也是严格遵守了皮亚诺公设的。我们看上面的公理和定义，并没有写“1+1=2”，既然不是公理，也不是定义，那就自然需要证明了！怎么证明呢？

1+1=2这个算式用语言表述就是两个0的后继数相加等于0的后继数的后继数。证明如下：

0'+0'=（0'+0）'=（0+0）'' =0''

或者1+1 = 1+0' =（1+0）' = 1' = 2

根据1+1=2的证明，我们可以证明0m+0n=0m+n（m和n代表0的第多少位后继数，而不是多少次方），也就是我们的常用自然数加法对所有自然数都是成立的，我们可以使用它！

综上：1+1=2是可以被证明的，只是它被证明比它被应用晚了很久很久。

首先，1+1=2是能被证明的。（具体可以参阅https://www.guokr.com/article/6556/）

因为它自身就是一个符合在某一公理条件下的运算。之所以我们能使用它，是因为我们都接受了几个最基本的公理。换句话讲，也就是我们都默认了某一个“框架”，在这个“框架”下，我们可以自然的使用“框架”下约定俗成的各种符号来解决日常问题。而再深一步讲，我们之所以“默认”使用这个“框架”，是因为它“最贴近我们所认知的这个世界”。

然而，是否又存在其他“框架”呢？

答案是可能，未知。

为什么这么说？因为我们真正对这个世界的认知到底有多少，我们并不清楚。最好的例子就是经典力学中欧氏几何得心应手，但到了相对论中爱因斯坦就发现欧氏几何不足以来解释，直到他了解到了非欧几何。而非欧几何也正正是修改了传统人们所认知的欧氏几何最基础公理而衍生出来的。

因此，在未知的领域，是否存在某些问题使到我们所认知的基本代数公理“都不足以解释”，而最终发展出另一套公理体系从而使到1+1=2是“不可用甚至是错的”？这个没人能够回答，因为人类探索的地方还很小很小。最类似的例子莫过于日本数学家望月新一在证明ABC猜想时，颠覆了数学最底层最基本的地方——他把同时附着于“数字”之上的加法结构和乘法结构拆开，变形，然后“复原”（http://songshuhui.net/archives/101102）。暂时而言，世界上没有人能理解他的论文，因其太过于“颠覆”，以至于动摇到我们“所认知”的代数根本。现在，世界著名数学家们正对他的论文进行审核且成功的希望很大，万一他成功了，那对已知的数学带来的冲击就是“颠覆性”的。

借用松鼠会文章中的一个节选来说明望月新一论文的颠覆性

因此，不要认为我们“平常都那样用的”就放之四海都是正确的。我们“标记”、“使用”的等式，只是“在特定框架”“承认构筑该框架的基础公理”的条件下才能成立。

至于问答上，也有人问类似的“为什么需要证明1+1=2”“为什么能用”一类的问题。其实，作为一般的人，日常生活按照默认的来就足够了。再往下挖，所涉及的问题就不会单单的1+1=2这么简单了。当然，那些网络嘴炮一看到1+1就哥什么巴什么猜想的就不吐槽了，而大声嚷嚷说不需要证明的，是否也太过于片面？数学并不是直觉科学，是需要一个个严谨的逻辑才能推衍且是在一定框架条件下才能成立的科学。

最后借用开篇提到果壳那文章中的一句话：